Rätsel: Der vergessene Sitzplatz

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Lösung:

Spoilerwarnung Spoilerwarnung Spoilerwarnung Spoilerwarnung Spoilerwarnung Die Wahrscheinlichkeit für den letzten Passagier, seinen Platz zu erhalten, beträgt 50%. Die Menge an Passagieren spielt dabei keine Rolle (solange sie größer als 1 ist).

Angenommen, es gibt n Passagiere. Dann gibt es drei Möglichkeiten:

1. Der erste Passagier setzt sich auf seinen eigenen Platz. Dann bekommt der letzte
   auf jeden Fall den seinigen.
2. Der erste Passagier setzt sich auf den Platz des letzten. Dann kann letzterer nicht
   mehr den eigenen Platz bekommen.
3. Der erste Passagier setzt sich auf den Platz des Passagiers m mit 1 < m < n. In
   diesem Fall setzen sich anschließend die Passiere 2 bis (m − 1) auf ihre eigenen
   Plätze. Passagier m sieht seinen Platz besetzt und muss sich einen anderen Platz
   auswählen. Der freie und von niemandem mehr beanspruchte Platz 1 kann nun als
   der ’rechtmäßige’ Platz von Passagier m angesehen werden. Da dieser jedoch nicht
   weiß, welcher Platz dies ist, steht er vor dem gleichen Problem, wie Passagier 1
   zuvor. Das Problem ist also von nun an identisch zu jenem mit (n − m + 1)
   Passagieren.

Das Rätsel kann also mit vollständiger Induktion gelöst werden:

Induktionsanfang: Bei 2 Passagieren sind nur der 1. und 2. Fall möglich und gleich
wahrscheinlich. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt demnach 50%.

Induktionsschritt: Beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit bei weniger als n Passagie-
ren (bei (n − m + 1) Passagieren, mit 1 < m < n) immer 50%, so muss sie auch bei n Passagieren genau 50% betragen.